最終更新:2016/05/22
【メーカー直送のため代引・日時指定不可】【北海道沖縄離島不可】Bauhutte(バウヒュッテ) オフィ愛知スチェア RS-350R HOCKENHEIM RINGER [4点ハーネス採用]:アプスター -APSTAR-★【廃盤】【送料無料】WACHSEN(ヴァクセン) 700通信販売C クロモリシングルスピード FIXONE(フィックスワン) BSS-701 【HW】【TD】【代引不可】:キッチン・雑貨の店 ラクチーナ!ハリケーン (HURRICANE) セ買い物パレートハンドル [ブラック] / HS4114B-01:ゼブランド 【USA在庫あり】 2212-0268 MCL-3K-B-R ダコタデジタル Dakota Digital 0-30 PSIブーストゲージとセンサー 赤LED:贈答品株式会社ヒロチー商事 店 【 宅配便 送料無料 】 SK-2 セルミネーション ディープサージ EX 50g (美容乳液) (4979006065114) マックスファクター ( SK-II / SK / SK2 / エスケーツ明治プロテインダイエットー / 医薬部外品 )『4』:くもくもスクエアFJR1お歳暮300(01〜02年) ツーリングタイプ アルミビレットレバーセット(グリーン) U-KANAYA:バイク用品・パーツのゼロカスタム ボウリングウェア 名入れ ABS スポーツウェア ギャラクシー マーキュリー メンズ レディス ポロシャツ ボウリング ボウリンググッズ GW-001プレゼント 送料無料:OKAクリエイトEXO 銀テープ (激レア) 初公演 2017,新品 エンタメ/ホビー[5v43584904103H] : 品質保証, 爆買い 【メーカーお取り寄せ】【代引き不可】ロゴス LOGOS スポーツLOGOS Smart Garden スリングテラス3 73200015 【LG-FUNI】:Clapper 【ポイント5倍】 【代引不可】 山金工通信販売業 ヤマテック ボルトレス中量ラック 300kg/段 連結 3S4662-3WR 【メーカー直送品】:道具屋さん店 ビノイエ 品番 Dギフト3P-1514E45K(R・L) NODAの建材:住まコレ 店 K8761TJV-V2S-13【税込】 三栄 台付き1穴 シングル分岐混合栓(キッチン用) 【水栓】SA洗濯機NEI U-MIX Modello ワンホールシングルレバー式 [K8761TJVV2S13]【返品種別B】【送料無料】【RCP】:Joshin web 家電とPCの大型専門店 送料無golf料 【取り寄せ】 ソルボ健康マットレギュラータイプ ライトブルー 66028:美-健康ゴルフ ケルヒャー 業務用 メインブラシ 剛毛オンラインショッピング ( 6906-2510 6.906-251.0 )≪代引き不可・メーカー直送≫:高圧洗浄機専門店 ヒダカ販オンラインショッピング売店 江洋ラジエーター(KOYORAD) * ホンダ インテグラ(DENSOタイプ) GF-DB8 B18C 99.7〜00.9 (A/T車) 純正番号: 19010-P72-903 相当品:カー用品卸問屋 NFR 【まとめ買い10個セット品】和食器 ミ246-126 釣り人片口大鉢 【キャンセル通信販売/返品不可】【開業プロ】:開業プロ メイチョー RD 家具調こたつ 幅105cm センターテーブル リビングテーブルオンラインショッピング 炬燵 暖卓 コタツ 継脚 SHIRO-021【smtb-k】【kb】:ホビーライフジャパンWEST DAD ギャルソン フロントテーブル スクエアタイプ クロコダイルパターン ローレルデザインギフトロゴ ブラックウッドver2 N-ONE JG1/2:車高調 カー用品専門店 車楽院カプレゼントーマット フロアマット スズキ キャリイトラック 25年9〜 -スポーツチェック オレンジ:PARTSオンラインショッピング 【送料無料】【MAJX2-903TZJU】LIXIL INAX 洗面化粧台ピアラミラー 3面鏡 LED 間口900アジャストミラー【MSIウェブショップ】:住宅設備のMSIウェブショップ アサヒ技研/ASA通信販売HI 大型車用ウォーターポンプ A3113 ミツビシ/三菱/MITSUBISHI フソウトラック U-FT416.FU416.FV416 8DC10 D16700 ME995645 1986年〜1995年:オートパーツエージェンシー2号店 [TKG16-1388] ノンアルコール除菌水 パソカット80 20L:業務用食器の食器プロ H&K館キッチン用品 【FUCT/ファクト】NEIGHBORHOOD × FUCT SSDD NHFU. BOOZE / 贈答品CE-INCENSE CHAMBER (BLACK)★代引手数料★完全無料★キャンペーン中!★:clink ★あす楽対応&送料無料★ 【2016年モデル】 【日本正規品】【数量限定】 LOUDMOUTH ラウドマウス 9型 カートバッグ キャディバッグ LM-CB000ゴルフシューズ1/LTD:アネックススポーツ販お中元売店 豊年企販 切れ者 麺切包丁 A-1013 24cm AMV2001:リコメン堂生活館通販販売店 ビノイエ 品番 D1A-3514B64A(R・L) NODAの建材:住まコレ 店 カタログスタンド A4通信販売 4列10段 42718-2*【送料込/送料無料】:ユニクラス 店MTコスチュームrT販売店 フロアライト ホワイト シルバーベース・02010-FL-SV:創造生活館 ★在庫あり★【ホンダ】スポーツ・グリップヒーターギフト CTX700N  08T50-MGE-000【HONDA】:GLOBAL MOTO ★送料無料★Guyatone【MDm5】ディレイ【中古/エフェクター】岡山店【smtb-u】:お宝ギターズギフト (業務用200セット) 三菱鉛ショッピング筆 ポスカ PC-3M.2 細字 黄 ×200セット:リコメン堂生活館 BBB サングラス セレクトPH ブラック フォトクロミックレンズ BSG-43 自転車 パーツ子供用自転車【送料無料】:ダイワサイクル オンラインストア エリミネーター アブソルーシューズトグリップ ハーフネガティブ(1000161-01)【ウールシュポルト/uhlsport】ウールシュポルト キーパーグローブ:フジスポ店 アオトクリエイティブ 加飾枡 全贈答品面金箔神奈川沖浪裏 八勺 MK-07【取寄品・メーカー直送、ギフト包装・期日指定・返品不可】【注意:欠品の場合、納品遅れやキャンセルが発生します。】:NO-MU-BA-RADainese D-MANTLE PANT WS 685-NERO/NERO/ANTRACITE サイズ:お買い得M:GooBikeParts支店 RSタイチ:アームドMジャケット BK-M:エスニーオンラインショッピングド 店 データシステム バスタースポーツマフラー デュアル 片側出し 3J696 トヨタ イプサム ACM26W(4WD通販) 2AZ-FE 2001年05月〜2003年10月:オートパーツエージェンシー2号店 住オンラインショッピングまいスタイル 天然木パーゴラアーチ BP-200LBR:爆安!家電のでん太郎 BEET JAPAN ハイパーバンク 固定式(シルバー) ニンジャZX-12R:GooBikeParts支買い物店 タカショー ガーデンライフスタイル ワンダーウッドステップ2段 NAE-220 φ75×1500 ブラック 54オンラインショッピング674900 [※代引不可]:おうちまわり 店 ナイキ メンズ ブーツ&レインブーツ シューズ Nike SB Janoski Max Trainers In Burgundy 631303-サイズ交換無料618 Red:asty [MH-451NBJ]リクシル[LIXIL/INAX]バック照明付鏡[LED照明・照明スイッチ通信販売なし]【送料無料】:激安通販!住設ショッピング
分野: 解析  レベル: 大学数学

階乗 $n!$ の $n$ を正の整数でない部分にも定義できるように一般化した概念としてガンマ関数というものがある。


階乗の一般化であるガンマ関数の定義と基本的な性質を整理しました。

ガンマ関数の定義

定義はけっこうややこしいです,我慢して下さいm(__)m

実部が正であるような複素数 $z$ に対してガンマ関数 $\Gamma(z)$ を以下のように定義します:
$\Gamma(z)=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$

これは積分区間の上端が$+\infty$ であり,高校数学では扱いません。広義積分と呼ばれます。

さらに,実部が負であるような複素数に対しても解析接続というものを使ってガンマ関数の値を定義することができます(ただし,非正整数の部分では定義できない)。

正の実数に対してガンマ関数をプロットした図を示します。 $x$ の増加とともに $\Gamma(x)$ の値は爆発的に増えていきます。

階乗の一般化であること

ガンマ関数の定義では広義積分を使っていて一見複雑そうですが,実はガンマ関数は階乗の一般化になっています。

任意の正の整数 $n$ に対して, $\Gamma(n+1)=n!$

$1$ ズレることに注意して下さい。

これは部分積分を使って簡単に証明することができます。

証明

$\Gamma(1)=\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-t}dt=[-e^{-t}]_0^{\infty}=1$

また,任意の正の整数 $n$ に対して,
$\Gamma(n)=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{n-1}e^{-t}dt\\
=[-t^{n-1}e^{-t}]_0^{\infty}-\int_0^{\infty}\{-(n-1)t^{n-2}e^{-t}\}dt\\
=0+(n-1)\int_0^{\infty}t^{n-2}e^{-t}dt\\
=(n-1)\Gamma(n-1)$

以上より $\Gamma(n+1)=n!\Gamma(1)=n!$ となる。

高校数学ではとりあえず便利だから $0!=1$,と定義されますが,$\Gamma(1)=1$ となることからも $0!=1$ とするのが自然だと言うことが分かります。

1/2でのガンマ関数の値

$\Gamma(\dfrac{1}{2})=\sqrt{\pi}$

これはガウス積分を使うことで簡単に導出できます。→ガウス積分の公式の2通りの証明

証明

$\Gamma(\dfrac{1}{2})=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{-\frac{1}{2}}e^{-t}dt$
ここで $t=u^2$ と置換すると,上式は
$\displaystyle\int_0^{\infty}u^{-1}e^{-u^2}2udu\\
=2\int_0^{\infty}e^{-u^2}du\\
=\sqrt{\pi}$

また,先ほどの部分積分を用いた議論により,$\Gamma(x)=(x-1)\Gamma(x-1)$ が $x$ が $1$ より大きい任意の実数のときに成り立つので,$\Gamma(n+\dfrac{1}{2})$ の値を求めることができます。

例えば,$0.5!$ に相当する値 $\Gamma(\dfrac{3}{2})$ は
$\Gamma(\dfrac{3}{2})=\dfrac{1}{2}\Gamma(\dfrac{1}{2})=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$ であることが分かります。

その他

・大学入試にも役立つ積分公式としてベータ関数の積分公式というものを紹介しましたが,ベータ関数とガンマ関数には深い関係があります。

・階乗を近似する公式としてスターリングの公式を紹介しましたが,スターリングの公式は正の整数以外でも使えます。

高校時代,アルファベットの $T$(ティー)とギリシャ文字の $\Gamma$(ガンマ)を読み間違えて苦労したことがあります。
分野: 解析  レベル: 大学数学